Au sens de Solow, la croissance économique se traduit par un accroissement du revenu par tête ou de la production par travailleur. Considérons une technologie de production utilisant deux facteurs de production : le capital (K) et le travail (L).
La technologie de production représentée par cette fonction est à rendements d’échelle constants (une des conditions de la concurrence parfaite). Il s’agit donc d’une fonction homogène de degré 1.
Sous l’hypothèse d’homogénéité de degré 1, l’expression de la fonction de production peut être formulée en ces termes : $$\frac{Y}{L} = F(\frac{K}{L}, 1)$$
$\frac{K}{L}$ étant l’intensité capitalistique ou le capital par tête et $\frac{Y}{L}$ la production par travailleur qui s’interprète comme le PIB / tête. En notant $\frac{K}{L} = k$ et $\frac{Y}{L} = y$, on a : $$ Y = f(k)$$
Dans la théorie néoclassique, la croissance économique est possible grâce à l’accumulation du capital. Plus le stock de capital augmente, financé par l’épargne, plus la production augmente. Mais à un certain moment, une unité de capital en plus génère de moins en moins d’unités de production : on parle alors de rendements marginaux décroissants du facteur capital. La décroissance des rendements marginaux débouche, in fine, sur une situation où la production n’augmente plus. L’économie atteint alors l’état stationnaire.
Analytiquement, le raisonnement de Solow se présente ainsi :
Dans le modèle, l’équation fondamentale d’accumulation du capital (au cours du temps) s’écrit :
$\dot{K}\equiv \frac{dK}{t}=1-\delta K$ ; $\delta$ représente le taux de dépréciation du capital, I représente l’investissement (FBCF) et K le stock de capital.
Lorsque l’économie est en équilibre, on a, dans le cas d’une économie fermée (absence d’importations et d’exportations), égalité entre les ressources et les emplois :
$$\begin{eqnarray}Y &=& C + I \\ \Longrightarrow S &=& I \Longrightarrow I = s Y \end{eqnarray}$$
L’équation fondamentale d’accumulation du capital s’écrit alors : $$\dot{K}=sY-\delta K$$
Pour exprimer cette équation en données par tête, on a d’abord : $\frac{\dot{k}}{k}=\frac{\dot{K}}{K}=\frac{\dot{L}}{L}$
$$\frac{\dot{k}}{k}=\frac{sY-\delta K}{K}-\frac{\dot{L}}{L}$$
Or, par hypothèse, $\frac{\dot{L}}{L}=n \Longrightarrow \frac{\dot{k}}{k}=\frac{sY}{K}-\delta -n$;
On a alors : $$\begin{eqnarray}\frac{\dot{k}}{k} &=& \frac{sY}{K}-\delta -n \\ \Longrightarrow \dot{k} &=& s*f(k)-(\delta +n)k \end{eqnarray}$$
$Y = F(K,L)$ , Y production ou production agrégée.
La technologie de production représentée par cette fonction est à rendements d’échelle constants (une des conditions de la concurrence parfaite). Il s’agit donc d’une fonction homogène de degré 1.
Sous l’hypothèse d’homogénéité de degré 1, l’expression de la fonction de production peut être formulée en ces termes : $$\frac{Y}{L} = F(\frac{K}{L}, 1)$$
$\frac{K}{L}$ étant l’intensité capitalistique ou le capital par tête et $\frac{Y}{L}$ la production par travailleur qui s’interprète comme le PIB / tête. En notant $\frac{K}{L} = k$ et $\frac{Y}{L} = y$, on a : $$ Y = f(k)$$
Dans la théorie néoclassique, la croissance économique est possible grâce à l’accumulation du capital. Plus le stock de capital augmente, financé par l’épargne, plus la production augmente. Mais à un certain moment, une unité de capital en plus génère de moins en moins d’unités de production : on parle alors de rendements marginaux décroissants du facteur capital. La décroissance des rendements marginaux débouche, in fine, sur une situation où la production n’augmente plus. L’économie atteint alors l’état stationnaire.
Analytiquement, le raisonnement de Solow se présente ainsi :
- Soit $C = cY$, une fonction de consommation agrégée avec $c$ qui représente la propension marginale à consommer et $Y$ le revenu.
- $S = Y – C$ : l’épargne étant égale à la différence entre le revenu et la consommation : on peut écrire $S = s Y$ , avec $s = 1-c$, $s$ étant la propension marginale à épargner
- L’offre de travail (des ménages) augmente dans le temps au même taux que le taux de croissance de la population supposé constant et valant $n \ : \ \frac{dL/dt}{L}=\frac{\dot{L}}{L}=n$;
Dans le modèle, l’équation fondamentale d’accumulation du capital (au cours du temps) s’écrit :
$\dot{K}\equiv \frac{dK}{t}=1-\delta K$ ; $\delta$ représente le taux de dépréciation du capital, I représente l’investissement (FBCF) et K le stock de capital.
Lorsque l’économie est en équilibre, on a, dans le cas d’une économie fermée (absence d’importations et d’exportations), égalité entre les ressources et les emplois :
$$\begin{eqnarray}Y &=& C + I \\ \Longrightarrow S &=& I \Longrightarrow I = s Y \end{eqnarray}$$
L’équation fondamentale d’accumulation du capital s’écrit alors : $$\dot{K}=sY-\delta K$$
Pour exprimer cette équation en données par tête, on a d’abord : $\frac{\dot{k}}{k}=\frac{\dot{K}}{K}=\frac{\dot{L}}{L}$
$$\frac{\dot{k}}{k}=\frac{sY-\delta K}{K}-\frac{\dot{L}}{L}$$
Or, par hypothèse, $\frac{\dot{L}}{L}=n \Longrightarrow \frac{\dot{k}}{k}=\frac{sY}{K}-\delta -n$;
On a alors : $$\begin{eqnarray}\frac{\dot{k}}{k} &=& \frac{sY}{K}-\delta -n \\ \Longrightarrow \dot{k} &=& s*f(k)-(\delta +n)k \end{eqnarray}$$
A l’état stationnaire, $\dot{k}=0$. Cela implique que le stock optimal de capital $k^*$ est atteint et la production / tête est à son niveau d’équilibre stationnaire ($y^*$). L’illustration du modèle de Solow est donnée par le graphique qui précède.
En marge du modèle de Solow, il y a deux résultats importants qui peuvent être dégagés : en ce qui concerne l’accroissement de la population, l’analyse de Solow permet de démontrer qu’une population grandissante n’est pas pour servir la croissance économique. La démonstration peut être faite graphiquement.
Il apparaît d’après le graphique précédent que lorsque la population croît à un taux n’>n, le niveau de la production d’équilibre passe de $y^*$ à $(y^*)’$ tel que $(y^*)’ < y^*$.
Pour ce qui est de la contribution de l’épargne, l’effet inverse est constaté. Si la propension marginale à épargner augmente passant de $s’$ à $s \ (s’>s)$, alors cela servira l’accumulation du capital et par conséquence favorisera l’accroissement du niveau d’équilibre de la production qui passera de $y^*$ à $(y^*)’’$. C’est ce qu’illustre le graphique qui précède.
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